Bevezetés:
A természetes számok nemcsak a matematika, hanem egyáltalán az elvont emberi gondolkodás kétségkívül legalapvetőbb objektumai közé tartoznak. Több évezreden át (egészen az 1870-es évekig, Dedekind, Cantor, és hasonló, "sokaságokat" tanulmányozó matematikusok színre lépéséig) a geometriai térszemlélet mellett a természetes számokra vonatkozó intuíció számított a matematizálás alapjának (gondoljunk csak az időszak egyik nagy matematikusa, Kronecker híres mondására, miszerint e számokat Isten teremtette, minden más "csak" emberi mű). Olyan nagy hatású, az akkori fogalmak szerint modern matematika szempontjából talán túlságosan is tekintélyes gondolkodók, mint Platón vagy Kant munkásságának eredményeképp egészen addig a matematika "a számok és alakzatok tiszta és igaz tudományaként" élt a köztudatban.
Részben az absztrakt algebra, részben a geometria, részben pedig az analízis ez időszakban végbemenő, s túlzás nélkül mondhatjuk, forradalmi fejlődése azonban e szemlélet szembetűnő, és a tudománytörténeti tények ismerete alapján nagyon is szükségszerűnek mondható változását hozta. Létrejöttek vagy átmatematizálódtak olyan, addig ismeretlen vagy a matematikán belül ismeretlen s inkább a filozófia részének tekintett ("meta")matematikai tudományágak, mint a formális logika, a halmazelmélet, vagy a szemiotika. Ez a "szigorúság forradalmának" is nevezett szemlélet- és paradigmaváltás természetesen a mindenféle számok elméletét is érintette - ugyanebben az időszakban publikálta Giuseppe Peano olasz matematikus a természetes számok (és mellesleg a matematika) első modern axiómarendszerét (LÁB1). A huszadik század közepére a matematika részévé vált a sokaságok elméletének (és viszont), ez utóbbi pedig a matematika alapjává lett. Az 1960-as évekre, elsősorban a francia Bourbaki-csoport munkásságának hatására, a matematika tudósainak, oktatóinak elég széles körében elfogadottá vált a matematika formalista szellemű, axiomatikus rendszerű, és halmazelméleti alapokon álló tudományként való deklarálása, az Amerikából kiindult matematikaoktatási reformmozgalom, a New Maths ( "Új matematika" ) hatására pedig ez a paradigmaváltás megjelent Amerika és Európa legtöbb országának matematikaoktatásában (Magyarországon az 1970-es években kezdtek mutatkozni az új szemlélet jelei, és máig erősen hatnak).
Ez a felfogás azonban több okból sem egészen problémamentes.
Egyrészt ismeretesek a halmazelmélet és logika híres-hírhedt antinómiái, ellentmondásai (Russell-, Cantor-, Richard-, stb.). A formalista filozófia és az axiomatikus módszer elsősorban épp ezek hatásának okából és megoldásának céljából alakult ki és terjedt el. De vajon ezek a problémák, amelyek kis híján romba döntötték a matematika igazságába vetett hitet, tényleg megoldódtak? És még ha meg is oldódtak, tényleg a fenti módszerek lennének a probléma kezelésének egyedül hatásos eszközei? Több fontos matematikai, filozófiai mű tanúsítja, hogy ez utóbbi kérdések még nincsenek megnyugtatóan eldöntve (LÁB2). Másrészt pedig, e kérdéskör az utóbbi évtizedekben a pedagógián belül is komoly és nem csak elméleti jelentőségre tett szert.
E kérdések, mint kiderült, sokkal életbevágóbbak annál, hogysem "puszta" filozófiai problémákként való interpretálásukkal, s így "leminősítésükkel" megnyugtathatnánk magunkat (sajnos manapság, néha a nem megfelelő helyen és időben is gyakorlatias(kodó) világunkban úgy tűnik, egy problémának a filozófia illetékességi körébe való utalása egyben annak tényleges "leminősítését" is jelenti). A matematika didaktikájával, pedagógiájával foglalkozó szakemberek jelentős része szerint ugyanis a New Maths bevezetésének eredményei összességében véve negatívak, azaz e mozgalom kudarcként könyvelhető el. (LÁB3) Vagyis még ha a matematika formalista-axiomatikus-halmazelméleti megalapozása "helyes" is és maradandónak bizonyulna, ez a tény akkor is csak igen korlátozottan jeleníthető meg (a középfokú) matematikaoktatásban. Nem biztos persze, hogy e tekintetben a szakemberek "jelentős részének" van igaza, ettől függetlenül azonban az "újmatek" szénája annyira rosszul áll, hogy Magyarországon (s még kevésbé külföldön) e mozgalom gyakorlati megvalósulásáról már nem is igazán, csak erős utóhatásairól beszélhetünk. Ettől függetlenül azonban a pedagógiai bourbakizmus által felvetett, megoldott és indukált problémák még mindig aktuálisak. A napjainkban a pedagógiában zajló egyes folyamatok (akár olyan, nem országos hatású történések is, mint egy új tankönyv megjelenése) újra és újra aktualitást adnak a matematika megalapozásának kérdései számára.
Egy kicsit sarkítva úgy tűnik, a matematika jövője szempontjából a következő, bár nem egyformán valószínű variációk képzelhetőek el:
1). A matematika továbbra is a formalista-axiomatikus-halmazelméleti (FAH) ismeretrendszerre fog alapozódni (még ha a matematikai kutatások módszertana, gyakorlata paradox módon ezt nem is mindig minden részletében igazolja), és ezt az oktatás is követni fogja. Nagyjából ez történt a hetvenes-nyolcvanas évekig, de úgy tűnik, ez tovább nem tartható, vagy legalábbis nem így lesz a jövőben.
2). A formalizmus a felsőoktatásban és a matematika elméleti megalapozásban megmarad, de az "alsóbb" szintű oktatásban változások következnek be. Nem lesz-e ekkor túl nagy "törés" mondjuk az egyetemen matematikát is tanulni szándékozó átlag gimnazista (pl. egy jövendő informatika szakos) addigi tudása, és a felsőoktatást biztosító intézmény követelményei között? Ennek már ma is vannak bizonyos jelei (LÁB4).
3). Az oktatás és alkalmazás gyakorlata "győz" a FAH elmélete felett. Azonban ennek is megvannak a veszélyei. A formalizmus a matematikai struktúra fogalmára mint eszközre támaszkodva a matematika olyan egységesítését és bővülését hozta, amire csak két évezreddel azelőtt volt példa. Ha a formalizmusnak leáldozik, nem lesz többé olyasmi, ami összefogja a matematikai univerzumot. Nem fog-e a matematika végleg szétszakadozni apró, egymásról mind csekélyebb tudomást vevő területecskékre, és nem fog e művelése és oktatása is végképp különválni egymástól? Vajon a matematika tudományának differenciálódását természetes folyamatnak tekintsük-e, amelybe nem szabad beleavatkozni, vagy pedig e folyamat bizonyos következményeit negatívnak, megoldandó és kiküszöbölendő problémának kell tartanunk? A szerzőn kívül olyan tekintélyes matematikusok is, mint pl. Lovász László, az utóbbi állásponton vannak (LÁB5). Ez esetben viszont szükségesnek tűnik megvizsgálni, hogy találni lehet-e olyan, bizonyos céloknak a FAH ismeretrendszeréhez képest jobban megfelelő "alapfilozófiát" (vagyis az eddigieknél "jobb" - korszerűbb, általánosabb, elfogadhatóbb - választ arra kérdésre, hogy "Mi a matematika?"), amely a FAH által betöltött integráló és alapozó szerepet legalább ugyanolyan "hatékonyan" képes betölteni.
Ennek az általánosabb problémakörnek egy konkrétabb, továbbá tudománytörténetileg igen jelentős és korai példája a természetes számok megalapozásának kérdése, amelynek kiemelkedő kutatója volt Gottlob Frege (1848-1925), a korabeli jénai egyetem matematikusa és magántanára. Munkánkban mindenekelőtt az ő gondolatait és ennek alapjait, ill. következményeit fogjuk ismertetni. Az előzőekben csak arra próbáltunk rámutatni, hogy ez a téma milyen nagy gyakorlati fontossággal bírhat. Frege a természetes számok megalapozására irányuló munkásságával jelentős részt vállalt a modern matematika (különösen a logika) megteremtésében. Témánkba vágó gondolatai közül a legfontosabbakat "Az aritmetika alapjai" (LÁB6) és "Az aritmetika alaptörvényei" (LÁB7) c. műveiben ismertette.
Munkánk első, bevezető jellegű fejezetében - mely tulajdonképpen egy hosszú előszó vagy előkészítés - megpróbáljuk röviden vázolni annak az életrajzi-tudománytörténeti-eszmei-filozófiai kontextusnak legalább egy részét (a kérdésnek ugyanis több száz cikkre és kötetre rúgó irodalma van), amelyben Frege és gondolatai elhelyezhetőek. A második fejezetben (felhasználva Ruzsa Imre és Máté András eredményeit is) megpróbáljuk "rekonstruálni" Frege munkáit matematikai szempontból, mai szemmel értelmezni ezek jelentését; illetve áttekintjük az általa felvetett problémákat és az ezekre adott, jelenleg a matematikusok által aktuálisnak tartott válaszokat (pl. hogyan szoktuk manapság a logikát vagy a halmazelméletet felépíteni?). E fejezet elsősorban logikával foglalkozik, azt "evolúció szerinti" felépítésével reprezentálva (magyarul történeti fejlődésében végigtekintve, noha terjedelmi okok miatt csak a számunkra legfontosabb mérföldköveket fogjuk bemutatni). A harmadik fejezetben pedig mindenezen témák oktatási-szakdidaktikai ill. ezzel összefüggő, sőt ettől elválaszthatatlan filozófiai vonatkozásairól ejtünk néhány szót. A fentiek közül a legutóbbi témakör (a filozófia) szerintünk a többivel teljesen egyenrangú fontosság és érdekesség tekintetében. Ezt azok kedvéért jelentjük ki külön, akik szerint a matematika a lehetőleg minél szakterületspecifikusabb és "nehéz", "nem triviális" állításoknál kezdődik. Ez azonban sohasem a matematika kezdete, hanem inkább a betetőzése. Gondoljunk itt pl. a tizenkilencedik századi matematika egyik óriása, H. Poincaré úttörő, a dimenzió- és térfogalom megalapozására irányuló munkásságára (LÁB 8.), ami jelentős részben, főként kezdetben, fizikai, illetve pszichológiai indíttatású (néha elég naivnak vagy homályosnak látszó, sőt talán téves) alapgondolatokból fakadt, ennek ellenére egy valódi, hamisítatlan, "hardcore" matematikai tudományág, a topológia egyik kezdetét jelentette.